L’examen du Bac S est un moment crucial pour les étudiants. C’est pourquoi nous mettons à votre disposition les informations essentielles sur l’examen de juin 2017 en Antilles Guyane. Découvrez les détails de l’exercice 4 dans cet article.
Exercice 4
Partie A
La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+infty[$. En analysant les différentes parties de la fonction, nous pouvons conclure que $f$ est croissante sur l’intervalle $]0;e]$ et décroissante sur l’intervalle $[e;+infty[$. De plus, le maximum de $f$ est atteint pour $x=e$ et sa valeur est $f(e)=e^{-1}$.
Partie B
Nous examinons maintenant un entier naturel $n$ supérieur à 3. Sur l’intervalle $[1;e]$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante. En utilisant le théorème de la bijection, nous pouvons affirmer que l’équation $f(x)=frac{1}{n}$ a une unique solution $alpha_n$ sur cet intervalle.
- a. La suite $alpha_n$ semble décroissante.
- b. En comparant les valeurs de $f(alphan)$ et $f(alpha{n+1})$, nous pouvons conclure que $alphan>alpha{n+1}$. Par conséquent, la suite $alpha_n$ est décroissante.
- c. Étant donné que la suite $alpha_n$ est décroissante et minorée par 1 (les $alpha_n$ appartiennent à l’intervalle $[1;e]$), nous pouvons affirmer qu’elle converge.
En ce qui concerne la suite $beta_n$, nous pouvons noter les observations suivantes :
- a. La suite $ln(beta_n)=frac{beta_n}{n}$ est croissante. De plus, pour tout entier naturel $n$ supérieur à 3, $beta_ngeq beta_3$, car la fonction $ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0;+infty[$. Par conséquent, nous avons $beta_ngeq frac{beta_3}{3}$.
- b. Puisque $beta3>0$ et $lim{n to +infty} frac{beta3}{3}=+infty$, nous pouvons conclure que $lim{n to +infty} beta_n=+infty$ en utilisant le théorème de comparaison.
N’hésitez pas à consulter le reste de l’examen pour vous préparer au mieux et réussir votre Bac S. Bonne chance à tous les candidats !
