Le nombre Pi et ses propriétés passionnantes
Le nombre Pi est un nombre qui a captivé les esprits des savants depuis l’Antiquité. Sa renommée repose sur ses propriétés fascinantes et sa nature remarquable. En effet, Pi est un nombre irrationnel, c’est-à-dire qu’il possède une infinité de décimales sans séquence logique. Les premières décimales sont : 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582. Bien que nous utilisions généralement la notation 3,14 dans la pratique, il est souvent plus facile de retenir des approximations comme 22/7 ou la racine carrée de 10.
Ce qui rend l’irrationalité de Pi encore plus étonnante, c’est qu’il n’est pas la solution d’une équation spécifique, contrairement à d’autres nombres comme . Le mathématicien allemand Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852 – 1939) a démontré que Pi est un nombre transcendant, c’est-à-dire qu’il ne peut être la solution d’aucune équation. Cela le rend encore plus extraordinaire.
Des approximations anciennes
Les décimales de Pi ont été l’objet d’étude des savants depuis près de 4000 ans. Une des plus anciennes approximations de Pi se trouve sur le célèbre papyrus Rhind, copié par le scribe Ahmes, datant de 1800 avant J.C. Il indique que l’aire d’un cercle de diamètre de 9 coudées est égale à celle d’un carré de côté de 8 coudées. Cette approximation correspond à la valeur (16/9)², soit environ 3,16.
Chez les Babyloniens, des tablettes en écriture cunéiforme retrouvées à Suse (Mésopotamie) présentent des calculs d’aires de disques qui donnent une approximation de Pi égale à 3 + 1/8 = 3,125. Cette approximation a été reprise en Inde entre 400 et 200 avant notre ère dans les Sulvasutras, des livres de règles hindoues.
Au IIIème siècle avant J.C., Archimède de Syracuse (-287 ; -212) établit dans son ouvrage “De la mesure du cercle” que le rapport de la surface d’un disque au carré de son rayon est égal au rapport de son périmètre à son diamètre. Archimède utilise ensuite la méthode d’exhaustion développée par Eudoxe de Cnide (-408 ; -355) pour encadrer un cercle de rayon 1 avec des polygones réguliers dont il peut calculer précisément le périmètre. En utilisant des polygones à 96 côtés, il obtient une approximation de la circonférence qui permet de déduire une approximation de Pi.
En Inde, le Siddhanta, un document datant de 380, donne comme approximation de Pi : 3 + 177/1250 = 3,1416, tandis qu’Aryabhata l’Ancien (476 ; 550) proposera cette même approximation au VIème siècle.
En Chine, Liu Hui utilise la méthode d’Archimède en 263 de notre ère avec des polygones à 192 côtés, puis à 3072 côtés, pour trouver une approximation de Pi au cent-millième. Au Vème siècle, les calculs sont simplifiés grâce au système décimal, et Tsu Chung Chih (430 ; 501) trouve ainsi une approximation au millionième près : 3,141592, qui correspond à la fraction 355/113 (facile à retenir en lisant de bas en haut : “11,33,55”).
Des avancées remarquables dans l’Occident
En Occident, les avancées significatives sur le calcul de Pi sont apparues à partir du XVIème siècle, bien que des approximations intéressantes aient été proposées par Claude Ptolémée (90? ; 160?) et Léonard de Pise (Fibonacci) (1180 ; 1250). En 1593, François Viete (1540 ; 1603) obtient une approximation à 9 décimales grâce à des méthodes analytiques novatrices mais peu efficaces, basées sur des produits infinis dont chaque facteur dépend du précédent. En 1609, l’allemand Ludolph van Ceulen (1540 ; 1610) reprend la méthode d’Archimède avec des polygones à 60 x 233 côtés, ce qui lui permet de calculer Pi avec 34 décimales exactes. À partir du XVIIème siècle, les recherches sur Pi s’accélèrent et les mathématiciens comme John Wallis (1616 ; 1703), Isaac Newton (1642 ; 1727), Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 ; 1716), John Machin (1680 ; 1751) ou James Stirling (1692 ; 1770) développent des formules de calculs infinis de plus en plus performantes.
La notation grecque π, qui est la 16ème lettre de l’alphabet grec, n’est apparue qu’en 1647. Elle a été introduite par l’anglais William Oughtred (1574 ; 1660) pour désigner le périmètre d’un cercle. Oughtred s’est inspiré d’Archimède, qui utilisait le mot “περιμετροξ” (périmètre) pour désigner la longueur de la circonférence. Cependant, il a fallu attendre Leonhard Euler (1707 ; 1783) et le succès de son ouvrage “Introduction à l’Analyse infinitésimale” (1748) pour que la lettre π devienne définitivement la notation du nombre Pi.
Signalons également le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan (1887 ; 1920), un véritable génie des nombres doté d’une intuition fabuleuse et d’une aptitude rare pour les calculs. Il a fait de nombreuses découvertes, mais la plupart d’entre elles restent sans démonstration. Ramanujan a proposé des formules permettant d’approcher Pi, certaines étant encore utilisées aujourd’hui pour programmer des ordinateurs afin de calculer les décimales de Pi. En 1910, Ramanujan a découvert une belle formule qui permet de calculer 8 décimales de Pi à chaque itération. En 1994, David Chudnovsky et les frères Gregory ont surpassé Ramanujan en proposant une formule qui fournit 14 décimales de Pi à chaque itération.
Le record de décimales de Pi
Le 16 août 2021, une équipe de recherche suisse de l’Université des Sciences appliquées des Grisons a établi un nouveau record en calculant 62 800 milliards de décimales de Pi.
Si vous souhaitez explorer davantage le monde fascinant de Pi, vous pouvez télécharger des décimales de Pi sur différents sites. Il existe également des logiciels spécifiques tels que Pifast, qui vous permettent de calculer le nombre de décimales que vous souhaitez. De plus, pour les amateurs de poésie, il existe un petit poème qui permet de mémoriser les premières décimales de Pi.
Il est également intéressant de mentionner le Club des personnes qui connaissent par cœur plus de 1000 décimales de Pi, connu sous le nom de The 1000-Club. Actuellement, le record est détenu par un Japonais, Hiroyuki Goto, qui connaît 42195 décimales de Pi. Même si vous vous demandez quel est l’intérêt de réaliser de telles prouesses, sachez que l’amour des nombres n’a pas de limites !
En conclusion, Pi est un nombre extraordinaire qui a fasciné les savants de toutes les époques. Au fil du temps, les approximations de Pi ont évolué et les chercheurs ont repoussé les limites pour calculer un maximum de décimales. Que vous soyez passionné de mathématiques ou simplement curieux, le nombre Pi offre un vaste champ d’exploration passionnant.
