En mathématiques, développer, réduire et factoriser sont des concepts importants liés à la manipulation et à la simplification des expressions algébriques.
Plus précisément :
📚 Ces concepts sont utilisés pour simplifier les expressions, résoudre des équations et résoudre des problèmes mathématiques plus complexes.
Le développement d’une expression consiste à multiplier les termes en utilisant les règles de la distribution. Cela permet d’obtenir une expression plus détaillée en développant les produits.
👉🏼 Par exemple, développer l’expression (a + b)(c + d) donne ac + ad + bc + bd.
La réduction d’une expression implique de simplifier les termes similaires. En combinant les termes identiques, on obtient une expression plus simple.
👉🏼 Par exemple, réduire l’expression 2x + 3x donne 5x.
La factorisation est le processus inverse du développement. Elle consiste à décomposer une expression en un produit de facteurs. Cela permet de mettre en évidence les facteurs communs et de simplifier l’expression.
👉🏼 Par exemple, factoriser l’expression 2x² + 4x donne 2x(x + 2).
Maintenant que vous connaissez les bases, passons à des détails et à des informations sur les nombres et leurs équations de développement, réduction et factorisation.
Comprendre les ensembles de nombres 🔢
Définition d’un ensemble de nombres
Il faut distinguer certains types d’écriture de nombres :
- N désigne l’ensemble des entiers naturels, on écrit N = {0, 1, 2, . . .}
- Z désigne l’ensemble des entiers relatifs, on écrit Z = {. . . ; −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
- Q désigne l’ensemble des nombres rationnels : Q = { a/b ; a ∈ Z, b ∈ N∗ }
- R désigne l’ensemble des nombres réels, on a : R∗ = R{0}
- R+ = {x ∈ R; x > 0} et R− = {x ∈ R; x ≤ 0}.
Tout élément appartenant à R et n’appartenant pas à Q est appelé “irrationnel” (√2 ∈ RQ signifie que √2 est un irrationnel). C désigne l’ensemble des nombres complexes : C = {a + ib ; a ∈ R et b ∈ R} avec i² = −1
👉🏼 Voici quelques exemples :
- 0, 1, 2 sont des entiers naturels.
- -3, -2, 6 sont des entiers relatifs.
- 1/3 , 1/2 , −1, 2 sont des nombres rationnels.
- π, √2, e sont des nombres irrationnels.
- 1 + i, j = (1 + i√3) / 2 sont des nombres complexes.
⚠️ Remarque. On a les inclusions suivantes : N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R, R ⊂ C
L’ensemble des entiers naturels
En cours de maths, on suppose connu l’ensemble des entiers naturels ainsi que les opérations de base sur les nombres entiers naturels. Un principe très important portant sur l’ensemble des entiers naturels est le principe de récurrence.
Le principe de récurrence est ici considéré comme un axiome, il équivaut à une propriété caractéristique de l’ensemble N des entiers naturels que nous n’exposerons pas ici.
Récurrence faible des ensembles de nombres
Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n et n0 un entier naturel, si P(n0) est vraie et si pour tout entier naturel n > n0, la véracité de P(n) implique celle de P(n + 1) alors P(n) est vraie pour tout entier naturel n > n0.
⚠️ Remarque. On s’efforcera de rédiger une démonstration par récurrence en distinguant bien les trois étapes nécessaires à la preuve de la propriété, ces étapes sont :
- L’initialisation
- L’hérédité
- La conclusion
Cette dernière étape est souvent “oubliée” mais pourtant incontournable, vous voilà prévenus !
✅ Prenons un exemple concret. Démontrons par récurrence que pour tout entier n > n0, P(n) vraie.
- Initialisation : P(n0) vraie
- Hérédité : soit n > n0, supposons P(n) vraie, . . ., donc P(n + 1) vraie.
- Conclusion : la propriété étant initialisée et héréditaire, on conclut par récurrence que : ∀n > n0, P(n).
Récurrence forte
Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n et n0 un entier naturel, si P(n0) est vraie et si la véracité des propriétés P(n0), P(n0 + 1), . . . , P(n) implique celle de P(n + 1) alors P(n) est vraie pour tout entier naturel n > n0.
Récurrence à deux pas
Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n et n0 un entier naturel, si P(n0) et P(n0 + 1) sont vraies et si la véracité des propriétés P(n0), P(n0 + 1) implique celle de P(n + 1) alors P(n) est vraie pour tout entier naturel n > n0.
Remarque
- On utilise la récurrence uniquement quand la propriété à démontrer dépend d’un entier naturel
- Les principes de récurrence forte ou à deux pas sont des conséquences immédiates du principe de récurrence faible
- Avant d’essayer une récurrence il est bon de voir s’il n’existe pas une preuve directe souvent plus rapide
Notation
Étant donné deux entiers naturels n et p avec n ≤ p, on notera [n, p] l’ensemble des entiers naturels compris entre n et p. On adoptera la dénomination : « l’intervalle d’entiers compris entre n et p » pour le décrire.
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Les nombres réels et leurs opérations respectives 🧮
L’addition
Soient a, b et c trois réels, on a :
- a + b = b + a (commutativité)
- (a + b) + c = a + (b + c) (associativité)
On dit que l’addition des nombres réels est commutative et associative.
La multiplication
Soient a, b et c trois réels, on a :
- a × b = b × a (commutativité)
- (a × b) × c = a × (b × c) (associativité)
La multiplication des réels est aussi commutative et associative.
- Soient a et b deux réels, on a : a × b = 0 ⇐⇒ a = 0 ou b = 0
- Soient a, b et c trois réels, on a :
- a × (b + c) = a × b + a × c (distributivité à gauche)
- (a + b) × c = a × c + b × c) (distributivité à droite)
C’est la distributivité de la multiplication sur l’addition des nombres réels.
Règle de calculs sur les quotients
Soient a, b, c et d quatre nombres réels avec b et d non nuls, on a :
- a/b + c/d = (ad + bc)/bd
- a/b × c/d = ac/bd
- a/b ÷ c/d = a/b × d/c = ad/bc si c ≠ 0
Valeur absolue
Soit x un réel, on notera |x| =
- x si x > 0
- −x si x < 0
⚠️ Remarque :
- Sur un axe gradué, |x| est la distance du point d’abscisse x à l’origine de l’axe.
- De la même façon |a − b| est la distance séparant les points d’abscisses respectives a et b sur un axe gradué.
Théorème : Inégalité triangulaire
Soient x et y deux nombres réels, on a :
||x| − |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|
Avec égalité en (1) ssi xy ≤ 0 et égalité en (2) ssi xy ≥ 0
Calcul avec radicaux
- Soient x et y deux réels positifs, on a : √xy = √x √y.
- Soit x un réel positif, √x² = x.
- Soit x un réel quelconque, √x²0 = |x|.
Attention, ce dernier point est un écueil sur lequel échouent bien des étudiants débutants… Vous voilà prévenus.
Identités remarquables
Pour tous réels a et b on a :
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- (a + b)(a − b) = a² − b²
Définitions pour les règles de calcul 📚
Pour rappel :
- Développer c’est transformer un produit en somme
- Factoriser c’est transformer une somme en produit en faisant apparaître son facteur commun
- Réduire c’est effectuer dans une expression littérale des calculs possibles
👉🏼 On peut utiliser la distributivité de la multiplication.
[k(a + b) = ka + kb] [k(a – b) = ka – kb] [(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd] [(a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd] [(a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd] [(a – b)(c – d) = ac – ad – bc + bd]Exemple de réduction
[A = 2x² + 3x – 1 – 2x + 2(4x – 8) + x×y] [= 2x² + 3x – 1 – 2x + 8x – 8 + x×y] [= (2x² – x²) + (3x + 8x) + (1 – 8) + x×y] [= x² + 11x – 9 + x×y]Entraînez-vous avec des cours de maths en ligne.
Développer puis réduire
a) Première option :
[2x(3x + 1) = 2x×3 + 2×1] [= 6x² + 2x] [= 2x(3x + 1)] [k(a + b) = k×a + k×b] [= 2x×3 + 2x×1]b) Deuxième option :
[(x + 1)(x + 2) = (x×x) + (x×2) + (1×2) + (1×2)] [= x² + 2x + x + 2] [= x² + 3x + 2]Factoriser
[2x² + 6x = 2x(x + 3)] [k×a + k×b = k(a + b)]On peut vérifier en développant le résultat obtenu.
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Partie entière
Soit x un réel, il existe un unique nombre entier relatif n tel que n ≤ x < n + 1.
Ce nombre n est appelé partie entière de x et sera noté ⌊x⌋.
Équations et inéquations 👩🏫
Les différents types d’intervalles de nombres réels :
- [a, b] (fermé borné), contient tous les réels compris entre a et b inclus.
- ]a, b[ (ouvert borné), idem mais a et b exclus.
- ]a, b] (resp. [a, b[) (semi-ouvert borné), contient tous les réels strictement supérieurs à a et inférieurs ou égaux à b (resp. réels supérieurs ou égaux à a et strictement inférieurs à b).
- [a, +∞[ (resp. ] − ∞, b]) (semi-ouvert non borné), contient tous les réels supérieurs ou égaux à a (resp. réels inférieurs ou égaux à b).
- ]a, +∞[, ]−∞, b[ ou ]−∞, +∞[ (ouvert non borné) idem que précédemment avec des inégalités strictes.
Équation du premier et second degré
Quelques basiques sont à retenir :
- Une égalité est inchangée lorsque l’on ajoute un même nombre aux deux membres de l’égalité
- Une égalité est inchangée lorsque l’on multiplie par un même nombre non nul les deux membres de l’égalité.
- Soient a et b deux réels avec a non nul, l’équation ax + b = 0 possède une unique solution : x = −b/a
On considère l’équation ax² + bx + c = 0 dans laquelle a, b et c sont trois réels avec a non nul. Le nombre b² − 4ac est appelé discriminant de l’équation, il est noté ∆. On rappelle alors le résultat suivant :
- Si ∆ > 0 alors l’équation possède deux solutions réelles : x1 = (− b −√∆) / 2a et x2 = (−b + √∆) / 2a.
- Si ∆ = 0 alors l’équation possède une solution réelle : x0 = −b/2a
- Si ∆ < 0 alors l’équation possède deux solutions qui sont des nombres complexes conjugués : x1 = (−b − i√|∆|) / 2a et x2 = (−b + i√|∆|) / 2a.
On dispose d’un résultat permettant la factorisation de l’expression ax² + bx + c = 0 si a non nul.
On considère l’équation ax² + bx + c = 0 dans laquelle a, b et c sont trois réels avec a non nul.
- Si l’équation possède deux solutions réelles ou complexes x1 et x2 alors on a : ax² + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
- Si l’équation possède une solution x0 alors on a : ax² + bx + c = a(x − x0)²
Il faut savoir, dans le cas où ∆ ≠ 0 on a le résultat suivant :
- x1 + x2 = −b/a
- x1 × x2 = c/a
Vous voilà incollable sur les nombres et leurs équations de factorisation, réduction et développement !
